In the hospital / At the hospital - В больнице. В чём разница?

In the hospital - означает: находиться как пациент; лежать в больнице.

to lie/to stay in hospital - лежать в больнице
to be in hospital быть/лежать в больнице
She's ill and has been in (the) hospital for a week. — Она больна и лежит в больнице уже неделю.
he's been in hospital for several days — он пролежал в больнице несколько дней
he was taken to [put in] hospital — его положили [поместили] в больницу

At the hospital - означает: работать в больнице или навещать/посещать кого-либо. НЕ ПАЦИЕНТ!

hospital ['hɔspɪt(ə)l] - больница, (ветеринарная) клиника; госпиталь, лазарет

to visit smb in hospital - навестить/навещать кого-либо в больнице
to go to visit smb. in hospital — навещать кого-л. в больнице
to go to (the) hospital — ложиться в больницу
She works at / in the hospital. — Она работает в больнице.
to work at hospital — работать в больнице
she's been taken to hospital — её положили в больницу

Существительное hospital в значениях, относящихся к пациентам больницы, употребляется без артикля.

Русские сочетания лежать в больнице (лечь в больницу), увезти кого-либо в больницу, выйти из больницы и т. п. соответствуют английским:
to go to hospital - лежать в больнице (лечь в больницу)
to be taken to hospital - увезти кого-либо в больниц
to come out of hiospital - выйти из больницы
Во всех остальных случаях hospital употребляется с тем артиклем, который требует ситуация. ср.
He works at a children's hospital. - Он работает в детской больнице.
He saw me as far as the hospital. - Он проводил меня до самой больницы.

as far as - насколько

Этому же правилу следуют существительные school, college, church, jail, prison: to go to (be at) school; after (before) school; to be taken to prison, где существительные обозначают не учреждение, а его функцию, действие с ним связанное.